글레이셔-킨켈린 상수

글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant)는 $K$함수와 $G$함수로 관계된다.

$A\approx 1.2824271291\dots$ (OEIS A074962)

$A=\lim _{n\to \infty }{{K(n+1)} \over {n^{{{n^{2}} \over {2}}+{n \over 2}+{1 \over 12}}e^{{-n^{2}} \over {4}}}}$

• $K$함수(K-function)

$K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}$

$\prod _{k=1}^{\infty }k^{1 \over k^{2}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{{\pi ^{2}} \over 6}$

원주율 ${\pi },$ 자연로그의 밑${e}\;\;,\;\;\;\gamma$오일러-마스케로니 상수

• $G$함수(G-function)

$G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}$ 여기서 $\;\;\Gamma (n)$는 감마 함수

$A=\lim _{n\to \infty }{{(2\pi )^{n \over 2}n^{{n^{2} \over 2}-{1 \over 12}}e^{{{-3n^{2}} \over {4}}+{1 \over 12}}} \over {G(n+1)}}$

• 리만 제타 함수와의 상관관계

리만 제타 함수 미분

$\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A$

$-\zeta ^{\prime }(2)={{\pi ^{2}} \over 6}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]=\sum _{k=2}^{\infty }{{\ln k} \over {k^{2}}}$

${\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A=\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx$

• $\color {blue}{e}$와 상관된 자연로그의 밑에서의 글레이셔-킨켈린 상수

$\ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)$

같이 보기

• 수학 상수
• 리만 제타 함수
• 감마 함수
• 프라임 제타 함수